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IES Pedro de Valdivia

 

 

Problemas de Estructuras Cristalinas

 

1º El aluminio tiene una masa atómica de 26,97 (g/mol). Sabiendo que cristaliza en el sistema FCC y que
la dimensión  de su celda unidad es 4,049 A, ¿ cuál será su densidad?

La densidad es la masa entre el volumen y por tanto conociendo la masa que hay en un determinado volumen nos permite el calculo del valor. Tomaremos el valor del volumen de la celda, o sea a3 que nos da el valor.

V = (4,09* 10-10 m)3 = (4.09 * 10 -8 cm)3 = 6,638 * 10 -23 cm3

Ahora Calculamos la masa que hay en la celda. Como es una FCC, el número de átomos por celda es 4.

masa = 4 * masa de átomo = 4 * 26,97 g/mol * 1 mol/6,023 * 1023 átomos = 1,78 * 10-22 gramos

Por tanto d = m/v = 1,78 * 10-22 gramos / 6,638 * 10 -23 cm3 = 2,7 g/cm3
 


Solución: p = 2,7 g/cm3

2º La masa atómica de un determinado elemento es 55,8 (g/mol). Sabiendo que su radio atómico es
1,24 A y su densidad, 7,9 g/cmg, sabrías decir si cristaliza en una red BCC o FCC?
Solución: BCC

3º ¿Cómo puede ser posible que la estructura BCC posea un Factor de empaquetamiento atómico menor
que la FCC o la HCP y la dimensión de sus huecos octaédricos sea también menor.

4º La densidad de wolframio es 19,3 g/cm3 con masa atómica de 183,9 g/mol. Si cristaliza en una red de tipo BCC, calcular su radio atómico.

Resolución:

Datos: Primero tenemos que al ser una celda BCC el número de átomos es 2.

Calcularemos ahora el volumen de una celda unidad. como tenemos que :

 

d = m/v =>

v = m/d = 2 at * 183,9 g/mol : ( 6,023 * 10 23 ato /mol * 19,3 g/cm3) =

31,64 * 10-24 cm3

Como en el cubo, el volumen es la arista al cubo, tenemos que a = 3,14 * 10-8

En la BCC, tenemos que la diagonal en el cubo es D = 4R = √3 a

El valor de R es √3 a / 4 = 1,37 Å

 

5º ¿Cual es el Factor de empaquetamiento atómico en el sistema cristalino hexagonal simple?
Solución FEA = 0,605

Primero veamos el número de átomos por celda.

En las caras, hay dos compartidos por otra celda, por tanto 1.

En los vértices hay 6 compartidos por 6 celda, por tanto, 12/6 = 2.

Total de átomos 3.

El volumen de la celda es base por altura. La altura es 2R.

El máximo empaquetamiento es a = 2R, por tanto, la base es según el desarrollo de la Pág. 54

6√3 R2.

El volumen es ( 6√3 R2 ) * (2R ) = 12√3 R3

FEA = Volumen de los átomos / Volumen de celda = 3 * (4/3 π R3 ) / 12√3 R3 = 0,605

6º Calcular el cambio teórico del volumen asociado a una transformación alotrópica de un metal desde la FCC a la red BCC.

Como sabemos en una FCC, el nº átomos celdilla = 4 y a = 4*R/√2.

En la red BCC nº átomos celdilla = 2 y a = 4*R/ 3

Como el numero de átomos se conserva, tenemos que por cada celdilla FCC se formarán 2 celdillas BCC.

(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * (4*R/3)3 / (4*R/2)3 = 1.088

Luego cuando cristaliza en BCC es un 8.8% mayor y por tanto existe una dilatación del material.

7º Un metal cristaliza en la red cúbica centrada en el cuerpo. Si su radio atómico es 1.24 manómetros. ¿Cuántos átomos existirán en 1 cm3?

Para plantearse el problema tenemos que pensar en el número de celdas que hay en 1 mm3 .

Para ello, necesitamos saber que mide una celda. Como tenemos el radio y sabemos que es una BCC, en la diagonal del cubo se cumple que √3a = 4R => a = 4*R/√3 = 2,83 nm.

Además sabemos en nº átomos por celdilla es de 2

El volumen de la celdilla es por tanto a3 = (2.863 * 10-7 cm)3=23.483 *10-21 cm3

El número de celdilla = 1 cm3 /23.483 *10-21cm3 = 4.25 * 1019 celdas.

Si sabemos el numero de celdas y los átomos que hay en cada celda, tenemos el número de átomos por mm3

nº átomos = 4.25 * 1019 celdillas * 2átomos/celdilla = 8.5 * 1019 átomos

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